高等数学

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1.导数定义：

导数和微分的概念

\(f'({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}\) （1）

或者：

\(f'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\) （2）

2.左右导数导数的几何意义和物理意义

函数\(f(x)\)在\(x_0\)处的左、右导数分别定义为：

左导数：\({{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}},(x={{x}_{0}}+\Delta x)\)

右导数：\({{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\)

3.函数的可导性与连续性之间的关系

Th1: 函数\(f(x)\)在\(x_0\)处可微\(\Leftrightarrow f(x)\)在\(x_0\)处可导

Th2: 若函数在点\(x_0\)处可导，则\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。

Th3: \({f}'({{x}_{0}})\)存在\(\Leftrightarrow {{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})={{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})\)

4.平面曲线的切线和法线

切线方程 : \(y-{{y}_{0}}=f'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})\)

法线方程：\(y-{{y}_{0}}=-\frac{1}{f'({{x}_{0}})}(x-{{x}_{0}}),f'({{x}_{0}})\ne 0\)

5.四则运算法则

设函数\(u=u(x)，v=v(x)\)]在点\(x\)可导则

(1) \((u\pm v{)}'={u}'\pm {v}'\) \(d(u\pm v)=du\pm dv\)

(2)\((uv{)}'=u{v}'+v{u}'\) \(d(uv)=udv+vdu\)

(3) \((\frac{u}{v}{)}'=\frac{v{u}'-u{v}'}{{{v}^{2}}}(v\ne 0)\) \(d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{{{v}^{2}}}\)

6.基本导数与微分表

(1) \(y=c\)（常数） \({y}'=0\) \(dy=0\)

(2) \(y={{x}^{\alpha }}\)($\alpha $为实数) \({y}'=\alpha {{x}^{\alpha -1}}\) \(dy=\alpha {{x}^{\alpha -1}}dx\)

(3) \(y={{a}^{x}}\) \({y}'={{a}^{x}}\ln a\) \(dy={{a}^{x}}\ln adx\) 特例: \(({{{e}}^{x}}{)}'={{{e}}^{x}}\) \(d({{{e}}^{x}})={{{e}}^{x}}dx\)

(4) \(y={{\log }_{a}}x\) \({y}'=\frac{1}{x\ln a}\)

\(dy=\frac{1}{x\ln a}dx\) 特例:\(y=\ln x\) \((\ln x{)}'=\frac{1}{x}\) \(d(\ln x)=\frac{1}{x}dx\)

(5) \(y=\sin x\)

\({y}'=\cos x\) \(d(\sin x)=\cos xdx\)

(6) \(y=\cos x\)

\({y}'=-\sin x\) \(d(\cos x)=-\sin xdx\)

(7) \(y=\tan x\)

\({y}'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}={{\sec }^{2}}x\) \(d(\tan x)={{\sec }^{2}}xdx\)

(8) \(y=\cot x\) \({y}'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=-{{\csc }^{2}}x\) \(d(\cot x)=-{{\csc }^{2}}xdx\)

(9) \(y=\sec x\) \({y}'=\sec x\tan x\)

\(d(\sec x)=\sec x\tan xdx\) (10) \(y=\csc x\) \({y}'=-\csc x\cot x\)

\(d(\csc x)=-\csc x\cot xdx\) (11) \(y=\arcsin x\)

\({y}'=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\)

\(d(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx\) (12) \(y=\arccos x\)

\({y}'=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\) \(d(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx\)

(13) \(y=\arctan x\)

\({y}'=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}\) \(d(\arctan x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx\)

(14) \(y=\operatorname{arc}\cot x\)

\({y}'=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}\)

\(d(\operatorname{arc}\cot x)=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx\) (15) \(y=shx\)

\({y}'=chx\) \(d(shx)=chxdx\)

(16) \(y=chx\)

\({y}'=shx\) \(d(chx)=shxdx\)

7.复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

(1) 反函数的运算法则: 设\(y=f(x)\)在点\(x\)的某邻域内单调连续，在点\(x\)处可导且\({f}'(x)\ne 0\)，则其反函数在点\(x\)所对应的\(y\)处可导，并且有\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\)

(2) 复合函数的运算法则:若\(\mu =\varphi (x)\)在点\(x\)可导,而\(y=f(\mu )\)在对应点\(\mu \((\)\mu =\varphi (x)\))可导,则复合函数\(y=f(\varphi (x))\)在点\(x\)可导,且\({y}'={f}'(\mu )\cdot {\varphi }'(x)\)

(3) 隐函数导数\(\frac{dy}{dx}\)的求法一般有三种方法：

1)方程两边对\(x\)求导，要记住\(y\)是\(x\)的函数，则\(y\)的函数是\(x\)的复合函数.例如\(\frac{1}{y}\)，\({{y}^{2}}\)，\(ln y\)，\({{{e}}^{y}}\)等均是\(x\)的复合函数. 对\(x\)求导应按复合函数连锁法则做.

2)公式法.由\(F(x,y)=0\)知 \(\frac{dy}{dx}=-\frac{{{{{F}'}}_{x}}(x,y)}{{{{{F}'}}_{y}}(x,y)}\),其中，\({{{F}'}_{x}}(x,y)\)， \({{{F}'}_{y}}(x,y)\)分别表示\(F(x,y)\)对\(x\)和\(y\)的偏导数

3)利用微分形式不变性

8.常用高阶导数公式

（1）\(({{a}^{x}}){{\,}^{(n)}}={{a}^{x}}{{\ln }^{n}}a\quad (a>{0})\quad \quad ({{{e}}^{x}}){{\,}^{(n)}}={e}{{\,}^{x}}\)

（2）\((\sin kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})\)

（3）\((\cos kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\cos (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})\)

（4）\(({{x}^{m}}){{\,}^{(n)}}=m(m-1)\cdots (m-n+1){{x}^{m-n}}\)

（5）\((\ln x){{\,}^{(n)}}={{(-{1})}^{(n-{1})}}\frac{(n-{1})!}{{{x}^{n}}}\)

（6）莱布尼兹公式：若\(u(x)\,,v(x)\)均\(n\)阶可导，则 \({{(uv)}^{(n)}}=\sum\limits_{i={0}}^{n}{c_{n}^{i}{{u}^{(i)}}{{v}^{(n-i)}}}\)，其中\({{u}^{({0})}}=u\)，\({{v}^{({0})}}=v\)

9.微分中值定理，泰勒公式

Th1:(费马定理)

若函数\(f(x)\)满足条件：

(1)函数\(f(x)\)在\({{x}_{0}}\)的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有 \(f(x)\le f({{x}_{0}})\)或\(f(x)\ge f({{x}_{0}})\),

(2) \(f(x)\)在\({{x}_{0}}\)处可导,则有 \({f}'({{x}_{0}})=0\)

Th2:(罗尔定理)

设函数\(f(x)\)满足条件：

(1)在闭区间\([a,b]\)上连续；

(2)在\((a,b)\)内可导；

(3)\(f(a)=f(b)\)；

则在\((a,b)\)内一存在个$\xi $，使 \({f}'(\xi )=0\)

Th3: (拉格朗日中值定理)

设函数\(f(x)\)满足条件：

(1)在\([a,b]\)上连续；

(2)在\((a,b)\)内可导；

则在\((a,b)\)内一存在个$\xi $，使 \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}'(\xi )\)

Th4: (柯西中值定理)

设函数\(f(x)\)，\(g(x)\)满足条件： (1) 在\([a,b]\)上连续；

(2) 在\((a,b)\)内可导且\({f}'(x)\)，\({g}'(x)\)均存在，且\({g}'(x)\ne 0\)

则在\((a,b)\)内存在一个$\xi $，使 \(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{{f}'(\xi )}{{g}'(\xi )}\)

10.洛必达法则

法则 Ⅰ (\(\frac{0}{0}\)型)

设函数\(f\left( x \right),g\left( x \right)\)

满足条件：

\(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0\);

\(f\left( x \right),g\left( x \right)\)在\({{x}_{0}}\)的邻域内可导，(在\({{x}_{0}}\)处可除外)且\({g}'\left( x \right)\ne 0\);

\(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}\)存在(或$\infty $)。

则: \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}\)。 法则\({{I}'}\) (\(\frac{0}{0}\)型)

设函数\(f\left( x \right),g\left( x \right)\)

满足条件：

\(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left(x \right)=0,\underset{x \to \infty}{\mathop{\lim}}\,g\left(x \right)=0\);

存在一个\(X>0\),当\(\left| x \right|>X\)时,\(f\left( x \right),g\left( x \right)\)可导,且\({g}'\left( x \right)\ne 0\);\(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim}}\,\frac{{f}'\left(x \right)}{{g}'\left(x \right)}\)存在(或\(\infty\))。

则: \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}\)

法则 Ⅱ(\(\frac{\infty }{\infty }\)型)

设函数\(f\left( x \right),g\left( x \right)\)满足条件： \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty ,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\infty\);

\(f\left( x \right),g\left( x \right)\)在\({{x}_{0}}\) 的邻域内可导(在\({{x}_{0}}\)处可除外)且\({g}'\left( x \right)\ne 0\);\(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}\)存在(或\(\infty\))。

则

\(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}.\)

同理法则\({I{I}'}\)(\(\frac{\infty }{\infty }\)型)仿法则\({{I}'}\)可写出。

11.泰勒公式

设函数\(f(x)\)在点\({{x}_{0}}\)处的某邻域内具有\(n+1\)阶导数，则对该邻域内异于\({{x}_{0}}\)的任意点\(x\)，在\({{x}_{0}}\)与\(x\)之间至少存在 一个\(\xi\)，使得：

\(f(x)=f({{x}_{0}})+{f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+\frac{1}{2!}{f}''({{x}_{0}}){{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+\cdots\)

\(+\frac{{{f}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}+{{R}_{n}}(x)\)

其中 \({{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n+1}}\)称为\(f(x)\)在点\({{x}_{0}}\)处的\(n\)阶泰勒余项。

令\({{x}_{0}}=0\)，则\(n\)阶泰勒公式 \(f(x)=f(0)+{f}'(0)x+\frac{1}{2!}{f}''(0){{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}{{x}^{n}}+{{R}_{n}}(x)\)……(1)

其中 \({{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}\)，\(\xi \(在 0 与\)x\)之间.(1)式称为麦克劳林公式

常用五种函数在\({{x}_{0}}=0\)处的泰勒公式

(1) \({{{e}}^{x}}=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}{{e}^{\xi }}\)

或 \(=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})\)

(2) \(\sin x=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\sin (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )\)

或 \(=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})\)

(3) \(\cos x=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\cos (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )\)

或 \(=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})\)

(4) \(\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+\frac{{{(-1)}^{n}}{{x}^{n+1}}}{(n+1){{(1+\xi )}^{n+1}}}\)

或 \(=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+o({{x}^{n}})\)

(5) \({{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}\) \(+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}{{(1+\xi )}^{m-n-1}}\)

或 \({{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots\) \(+\frac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})\)

12.函数单调性的判断

Th1:

设函数\(f(x)\)在\((a,b)\)区间内可导，如果对\(\forall x\in (a,b)\)，都有\(f\,'(x)>0\)（或\(f\,'(x)<0\)），则函数\(f(x)\)在\((a,b)\)内是单调增加的（或单调减少）

Th2:

（取极值的必要条件）设函数\(f(x)\)在\({{x}_{0}}\)处可导，且在\({{x}_{0}}\)处取极值，则\(f\,'({{x}_{0}})=0\)。

Th3:

（取极值的第一充分条件）设函数\(f(x)\)在\({{x}_{0}}\)的某一邻域内可微，且\(f\,'({{x}_{0}})=0\)（或\(f(x)\)在\({{x}_{0}}\)处连续，但\(f\,'({{x}_{0}})\)不存在。）

(1)若当\(x\)经过\({{x}_{0}}\)时，\(f\,'(x)\)由“+”变“-”，则\(f({{x}_{0}})\)为极大值；

(2)若当\(x\)经过\({{x}_{0}}\)时，\(f\,'(x)\)由“-”变“+”，则\(f({{x}_{0}})\)为极小值；

(3)若\(f\,'(x)\)经过\(x={{x}_{0}}\)的两侧不变号，则\(f({{x}_{0}})\)不是极值。

Th4:

(取极值的第二充分条件)设\(f(x)\)在点\({{x}_{0}}\)处有\(f''(x)\ne 0\)，且\(f\,'({{x}_{0}})=0\)，则 当\(f'\,'({{x}_{0}})<0\)时，\(f({{x}_{0}})\)为极大值； 当\(f'\,'({{x}_{0}})>0\)时，\(f({{x}_{0}})\)为极小值。 注：如果\(f'\,'({{x}_{0}})<0\)，此方法失效。

13.渐近线的求法

(1)水平渐近线 若\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b\)，或\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b\)，则

\(y=b\)称为函数\(y=f(x)\)的水平渐近线。

(2)铅直渐近线 若\(\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty\) ，或\(\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty\)，则

\(x={{x}_{0}}\)称为\(y=f(x)\)的铅直渐近线。

(3)斜渐近线 若\(a=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x},\quad b=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,[f(x)-ax]\)，则 \(y=ax+b\)称为\(y=f(x)\)的斜渐近线。

14.函数凹凸性的判断

Th1: (凹凸性的判别定理）若在 I 上\(f''(x)<0\)（或\(f''(x)>0\)），则\(f(x)\)在 I 上是凸的（或凹的）。

Th2: (拐点的判别定理 1)若在\({{x}_{0}}\)处\(f''(x)=0\)，（或\(f''(x)\)不存在），当\(x\)变动经过\({{x}_{0}}\)时，\(f''(x)\)变号，则\(({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))\)为拐点。

Th3: (拐点的判别定理 2)设\(f(x)\)在\({{x}_{0}}\)点的某邻域内有三阶导数，且\(f''(x)=0\)，\(f'''(x)\ne 0\)，则\(({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))\)为拐点。

15.弧微分

\(dS=\sqrt{1+y{{'}^{2}}}dx\)

16.曲率

曲线\(y=f(x)\)在点\((x,y)\)处的曲率\(k=\frac{\left| y'' \right|}{{{(1+y{{'}^{2}})}^{\tfrac{3}{2}}}}\)。 对于参数方程\(\left\{ \begin{align} & x=\varphi (t) \\ & y=\psi (t) \\ \end{align} \right.,\)\(k=\frac{\left| \varphi '(t)\psi ''(t)-\varphi ''(t)\psi '(t) \right|}{{{[\varphi {{'}^{2}}(t)+\psi {{'}^{2}}(t)]}^{\tfrac{3}{2}}}}\)。

17.曲率半径

曲线在点\(M\)处的曲率\(k(k\ne 0)\)与曲线在点\(M\)处的曲率半径\(\rho \(有如下关系：\)\rho =\frac{1}{k}\)。

线性代数

行列式

1.行列式按行（列）展开定理

(1) 设\(A = ( a_{{ij}} )_{n \times n}\)，则：\(a_{i1}A_{j1} +a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{{in}}A_{{jn}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}\)

或\(a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \cdots + a_{{ni}}A_{{nj}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}\)即 \(AA^{*} = A^{*}A = \left| A \right|E,\)其中：\(A^{*} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ A_{n1} & A_{n2} & \ldots & A_{{nn}} \\ \end{pmatrix} = (A_{{ji}}) = {(A_{{ij}})}^{T}\)

\(D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})\)

(2) 设\(A,B\)为\(n\)阶方阵，则\(\left| {AB} \right| = \left| A \right|\left| B \right| = \left| B \right|\left| A \right| = \left| {BA} \right|\)，但\(\left| A \pm B \right| = \left| A \right| \pm \left| B \right|\)不一定成立。

(3) \(\left| {kA} \right| = k^{n}\left| A \right|\),\(A\)为\(n\)阶方阵。

(4) 设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(|A^{T}| = |A|;|A^{- 1}| = |A|^{- 1}\)（若\(A\)可逆），\(|A^{*}| = |A|^{n - 1}\)

\(n \geq 2\)

(5) \(\left| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} & {A\quad C} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {C\quad B} \\ \end{matrix} \right| =| A||B|\) ，\(A,B\)为方阵，但\(\left| \begin{matrix} {O} & A_{m \times m} \\ B_{n \times n} & { O} \\ \end{matrix} \right| = ({- 1)}^{{mn}}|A||B|\) 。

(6) 范德蒙行列式\(D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})\)

设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(\lambda_{i}(i = 1,2\cdots,n)\)是\(A\)的\(n\)个特征值，则 \(|A| = \prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}\)

矩阵

矩阵：\(m \times n\)个数\(a_{{ij}}\)排成\(m\)行\(n\)列的表格\(\begin{bmatrix} a_{11}\quad a_{12}\quad\cdots\quad a_{1n} \\ a_{21}\quad a_{22}\quad\cdots\quad a_{2n} \\ \quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{m1}\quad a_{m2}\quad\cdots\quad a_{{mn}} \\ \end{bmatrix}\) 称为矩阵，简记为\(A\)，或者\(\left( a_{{ij}} \right)_{m \times n}\) 。若\(m = n\)，则称\(A\)是\(n\)阶矩阵或\(n\)阶方阵。

矩阵的线性运算

1.矩阵的加法

设\(A = (a_{{ij}}),B = (b_{{ij}})\)是两个\(m \times n\)矩阵，则\(m \times n\) 矩阵\(C = c_{{ij}}) = a_{{ij}} + b_{{ij}}\)称为矩阵\(A\)与\(B\)的和，记为\(A + B = C\) 。

2.矩阵的数乘

设\(A = (a_{{ij}})\)是\(m \times n\)矩阵，\(k\)是一个常数，则\(m \times n\)矩阵\((ka_{{ij}})\)称为数\(k\)与矩阵\(A\)的数乘，记为\({kA}\)。

3.矩阵的乘法

设\(A = (a_{{ij}})\)是\(m \times n\)矩阵，\(B = (b_{{ij}})\)是\(n \times s\)矩阵，那么\(m \times s\)矩阵\(C = (c_{{ij}})\)，其中\(c_{{ij}} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{{in}}b_{{nj}} = \sum_{k =1}^{n}{a_{{ik}}b_{{kj}}}\)称为\({AB}\)的乘积，记为\(C = AB\) 。

4. \(\mathbf{A}^{\mathbf{T}}\)、\(\mathbf{A}^{\mathbf{-1}}\)、\(\mathbf{A}^{\mathbf{*}}\)三者之间的关系

(1) \({(A^{T})}^{T} = A,{(AB)}^{T} = B^{T}A^{T},{(kA)}^{T} = kA^{T},{(A \pm B)}^{T} = A^{T} \pm B^{T}\)

(2) \(\left( A^{- 1} \right)^{- 1} = A,\left( {AB} \right)^{- 1} = B^{- 1}A^{- 1},\left( {kA} \right)^{- 1} = \frac{1}{k}A^{- 1},\)

但 \({(A \pm B)}^{- 1} = A^{- 1} \pm B^{- 1}\)不一定成立。

(3) \(\left( A^{*} \right)^{*} = |A|^{n - 2}\ A\ \ (n \geq 3)\)，\(\left({AB} \right)^{*} = B^{*}A^{*},\) \(\left( {kA} \right)^{*} = k^{n -1}A^{*}{\ \ }\left( n \geq 2 \right)\)

但\(\left( A \pm B \right)^{*} = A^{*} \pm B^{*}\)不一定成立。

(4) \({(A^{- 1})}^{T} = {(A^{T})}^{- 1},\ \left( A^{- 1} \right)^{*} ={(AA^{*})}^{- 1},{(A^{*})}^{T} = \left( A^{T} \right)^{*}\)

5.有关\(\mathbf{A}^{\mathbf{*}}\)的结论

(1) \(AA^{*} = A^{*}A = |A|E\)

(2) \(|A^{*}| = |A|^{n - 1}\ (n \geq 2),\ \ \ \ {(kA)}^{*} = k^{n -1}A^{*},{{\ \ }\left( A^{*} \right)}^{*} = |A|^{n - 2}A(n \geq 3)\)

(3) 若\(A\)可逆，则\(A^{*} = |A|A^{- 1},{(A^{*})}^{*} = \frac{1}{|A|}A\)

(4) 若\(A\)为\(n\)阶方阵，则：

\(r(A^*)=\begin{cases}n,\quad r(A)=n\\ 1,\quad r(A)=n-1\\ 0,\quad r(A)<n-1\end{cases}\)

6.有关\(\mathbf{A}^{\mathbf{- 1}}\)的结论

\(A\)可逆\(\Leftrightarrow AB = E; \Leftrightarrow |A| \neq 0; \Leftrightarrow r(A) = n;\)

\(\Leftrightarrow A\)可以表示为初等矩阵的乘积；\(\Leftrightarrow A;\Leftrightarrow Ax = 0\)。

7.有关矩阵秩的结论

(1) 秩\(r(A)\)=行秩=列秩；

(2) \(r(A_{m \times n}) \leq \min(m,n);\)

(3) \(A \neq 0 \Rightarrow r(A) \geq 1\)；

(4) \(r(A \pm B) \leq r(A) + r(B);\)

(5) 初等变换不改变矩阵的秩

(6) \(r(A) + r(B) - n \leq r(AB) \leq \min(r(A),r(B)),\)特别若\(AB = O\) 则：\(r(A) + r(B) \leq n\)

(7) 若\(A^{- 1}\)存在\(\Rightarrow r(AB) = r(B);\) 若\(B^{- 1}\)存在 \(\Rightarrow r(AB) = r(A);\)

若\(r(A_{m \times n}) = n \Rightarrow r(AB) = r(B);\) 若\(r(A_{m \times s}) = n\Rightarrow r(AB) = r\left( A \right)\)。

(8) \(r(A_{m \times s}) = n \Leftrightarrow Ax = 0\)只有零解

8.分块求逆公式

\(\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \\ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{- 1} \\ \end{pmatrix}\)； \(\begin{pmatrix} A & C \\ O & B \\\end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}& - A^{- 1}CB^{- 1} \\ O & B^{- 1} \\ \end{pmatrix}\)；

\(\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \\ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}&{O} \\ - B^{- 1}CA^{- 1} & B^{- 1} \\\end{pmatrix}\)； \(\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \\ \end{pmatrix}^{- 1} =\begin{pmatrix} O & B^{- 1} \\ A^{- 1} & O \\ \end{pmatrix}\)

这里\(A\)，\(B\)均为可逆方阵。

向量

1.有关向量组的线性表示

(1)\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)线性相关\(\Leftrightarrow\)至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

(2)\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)线性无关，\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)，\(\beta\)线性相关\(\Leftrightarrow \beta\)可以由\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)唯一线性表示。

(3) \(\beta\)可以由\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)线性表示 \(\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)\) 。

2.有关向量组的线性相关性

(1)部分相关，整体相关；整体无关，部分无关.

(2) ① \(n\)个\(n\)维向量 \(\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}\)线性无关\(\Leftrightarrow \left|\left\lbrack \alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n} \right\rbrack \right| \neq0\)， \(n\)个\(n\)维向量\(\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}\)线性相关 \(\Leftrightarrow |\lbrack\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\rbrack| = 0\) 。

② \(n + 1\)个\(n\)维向量线性相关。

③ 若\(\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{S}\)线性无关，则添加分量后仍线性无关；或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关。

3.有关向量组的线性表示

(1) \(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)线性相关\(\Leftrightarrow\)至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

(2) \(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)线性无关，\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)，\(\beta\)线性相关\(\Leftrightarrow\beta\) 可以由\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)唯一线性表示。

(3) \(\beta\)可以由\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)线性表示 \(\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)\)

4.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

设\(r(A_{m \times n}) =r\)，则\(A\)的秩\(r(A)\)与\(A\)的行列向量组的线性相关性关系为：

(1) 若\(r(A_{m \times n}) = r = m\)，则\(A\)的行向量组线性无关。

(2) 若\(r(A_{m \times n}) = r < m\)，则\(A\)的行向量组线性相关。

(3) 若\(r(A_{m \times n}) = r = n\)，则\(A\)的列向量组线性无关。

(4) 若\(r(A_{m \times n}) = r < n\)，则\(A\)的列向量组线性相关。

5.\(\mathbf{n}\)维向量空间的基变换公式及过渡矩阵

若\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\)与\(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}\)是向量空间\(V\)的两组基，则基变换公式为：

\((\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}) = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})\begin{bmatrix} c_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n} \\ c_{21}& c_{22}&\cdots & c_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ c_{n1}& c_{n2} & \cdots & c_{{nn}} \\\end{bmatrix} = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})C\)

其中\(C\)是可逆矩阵，称为由基\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\)到基\(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}\)的过渡矩阵。

6.坐标变换公式

若向量\(\gamma\)在基\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\)与基\(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}\)的坐标分别是 \(X = {(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})}^{T}\)，

\(Y = \left( y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} \right)^{T}\) 即： \(\gamma =x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + \cdots + x_{n}\alpha_{n} = y_{1}\beta_{1} +y_{2}\beta_{2} + \cdots + y_{n}\beta_{n}\)，则向量坐标变换公式为\(X = CY\) 或\(Y = C^{- 1}X\)，其中\(C\)是从基\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\)到基\(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}\)的过渡矩阵。

7.向量的内积

\((\alpha,\beta) = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \cdots + a_{n}b_{n} = \alpha^{T}\beta = \beta^{T}\alpha\)

8.Schmidt 正交化

若\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)线性无关，则可构造\(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s}\)使其两两正交，且\(\beta_{i}\)仅是\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{i}\)的线性组合\((i= 1,2,\cdots,n)\)，再把\(\beta_{i}\)单位化，记\(\gamma_{i} =\frac{\beta_{i}}{\left| \beta_{i}\right|}\)，则\(\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{i}\)是规范正交向量组。其中 \(\beta_{1} = \alpha_{1}\)， \(\beta_{2} = \alpha_{2} -\frac{(\alpha_{2},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}\) ， \(\beta_{3} =\alpha_{3} - \frac{(\alpha_{3},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} -\frac{(\alpha_{3},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2}\) ，

............

\(\beta_{s} = \alpha_{s} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2} - \cdots - \frac{(\alpha_{s},\beta_{s - 1})}{(\beta_{s - 1},\beta_{s - 1})}\beta_{s - 1}\)

9.正交基及规范正交基

向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基。

线性方程组

1．克莱姆法则

线性方程组\(\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots +a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} =b_{2} \\ \quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{{nn}}x_{n} = b_{n} \\ \end{cases}\)，如果系数行列式\(D = \left| A \right| \neq 0\)，则方程组有唯一解，\(x_{1} = \frac{D_{1}}{D},x_{2} = \frac{D_{2}}{D},\cdots,x_{n} =\frac{D_{n}}{D}\)，其中\(D_{j}\)是把\(D\)中第\(j\)列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式。

2. \(n\)阶矩阵\(A\)可逆\(\Leftrightarrow Ax = 0\)只有零解。\(\Leftrightarrow\forall b,Ax = b\)总有唯一解，一般地，\(r(A_{m \times n}) = n \Leftrightarrow Ax= 0\)只有零解。

3.非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构

(1) 设\(A\)为\(m \times n\)矩阵，若\(r(A_{m \times n}) = m\)，则对\(Ax =b\)而言必有\(r(A) = r(A \vdots b) = m\)，从而\(Ax = b\)有解。

(2) 设\(x_{1},x_{2},\cdots x_{s}\)为\(Ax = b\)的解，则\(k_{1}x_{1} + k_{2}x_{2}\cdots + k_{s}x_{s}\)当\(k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 1\)时仍为\(Ax =b\)的解；但当\(k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 0\)时，则为\(Ax =0\)的解。特别\(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}\)为\(Ax = b\)的解；\(2x_{3} - (x_{1} +x_{2})\)为\(Ax = 0\)的解。

(3) 非齐次线性方程组\({Ax} = b\)无解\(\Leftrightarrow r(A) + 1 =r(\overline{A}) \Leftrightarrow b\)不能由\(A\)的列向量\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\)线性表示。

4.奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解

(1) 齐次方程组\({Ax} = 0\)恒有解(必有零解)。当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此\({Ax}= 0\)的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是\(n - r(A)\)，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系。

(2) \(\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}\)是\({Ax} = 0\)的基础解系，即：

1. \(\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}\)是\({Ax} = 0\)的解；

2. \(\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}\)线性无关；

3. \({Ax} = 0\)的任一解都可以由\(\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}\)线性表出. \(k_{1}\eta_{1} + k_{2}\eta_{2} + \cdots + k_{t}\eta_{t}\)是\({Ax} = 0\)的通解，其中\(k_{1},k_{2},\cdots,k_{t}\)是任意常数。

矩阵的特征值和特征向量

1.矩阵的特征值和特征向量的概念及性质

(1) 设\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值，则 \({kA},{aA} + {bE},A^{2},A^{m},f(A),A^{T},A^{- 1},A^{*}\)有一个特征值分别为 \({kλ},{aλ} + b,\lambda^{2},\lambda^{m},f(\lambda),\lambda,\lambda^{- 1},\frac{|A|}{\lambda},\)且对应特征向量相同（\(A^{T}\) 例外）。

(2)若\(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\)为\(A\)的\(n\)个特征值，则\(\sum_{i= 1}^{n}\lambda_{i} = \sum_{i = 1}^{n}a_{{ii}},\prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}= |A|\) ,从而\(|A| \neq 0 \Leftrightarrow A\)没有特征值。

(3)设\(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{s}\)为\(A\)的\(s\)个特征值，对应特征向量为\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\)，

若: \(\alpha = k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + \cdots + k_{s}\alpha_{s}\) ,

则: \(A^{n}\alpha = k_{1}A^{n}\alpha_{1} + k_{2}A^{n}\alpha_{2} + \cdots +k_{s}A^{n}\alpha_{s} = k_{1}\lambda_{1}^{n}\alpha_{1} +k_{2}\lambda_{2}^{n}\alpha_{2} + \cdots k_{s}\lambda_{s}^{n}\alpha_{s}\) 。

2.相似变换、相似矩阵的概念及性质

(1) 若\(A \sim B\)，则

1. \(A^{T} \sim B^{T},A^{- 1} \sim B^{- 1},,A^{*} \sim B^{*}\)

2. \(|A| = |B|,\sum_{i = 1}^{n}A_{{ii}} = \sum_{i =1}^{n}b_{{ii}},r(A) = r(B)\)

3. \(|\lambda E - A| = |\lambda E - B|\)，对\(\forall\lambda\)成立

3.矩阵可相似对角化的充分必要条件

(1)设\(A\)为\(n\)阶方阵，则\(A\)可对角化\(\Leftrightarrow\)对每个\(k_{i}\)重根特征值\(\lambda_{i}\)，有\(n-r(\lambda_{i}E - A) = k_{i}\)

(2) 设\(A\)可对角化，则由\(P^{- 1}{AP} = \Lambda,\)有\(A = {PΛ}P^{-1}\)，从而\(A^{n} = P\Lambda^{n}P^{- 1}\)

(3) 重要结论

1. 若\(A \sim B,C \sim D\)，则\(\begin{bmatrix} A & O \\ O & C \\\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} B & O \\ O & D \\\end{bmatrix}\).

2. 若\(A \sim B\)，则\(f(A) \sim f(B),\left| f(A) \right| \sim \left| f(B)\right|\)，其中\(f(A)\)为关于\(n\)阶方阵\(A\)的多项式。

3. 若\(A\)为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数(重根重复计算)＝秩(\(A\))

4.实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵

(1)相似矩阵：设\(A,B\)为两个\(n\)阶方阵，如果存在一个可逆矩阵\(P\)，使得\(B =P^{- 1}{AP}\)成立，则称矩阵\(A\)与\(B\)相似，记为\(A \sim B\)。

(2)相似矩阵的性质：如果\(A \sim B\)则有：

1. \(A^{T} \sim B^{T}\)

2. \(A^{- 1} \sim B^{- 1}\) （若\(A\)，\(B\)均可逆）

3. \(A^{k} \sim B^{k}\) （\(k\)为正整数）

4. \(\left| {λE} - A \right| = \left| {λE} - B \right|\)，从而\(A,B\) 有相同的特征值

5. \(\left| A \right| = \left| B \right|\)，从而\(A,B\)同时可逆或者不可逆

6. 秩\(\left( A \right) =\)秩\(\left( B \right),\left| {λE} - A \right| =\left| {λE} - B \right|\)，\(A,B\)不一定相似

二次型

1.\(\mathbf{n}\)个变量\(\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}\mathbf{,\cdots,}\mathbf{x}_{\mathbf{n}}\)的二次齐次函数

\(f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n}{\sum_{j =1}^{n}{a_{{ij}}x_{i}y_{j}}}\)，其中\(a_{{ij}} = a_{{ji}}(i,j =1,2,\cdots,n)\)，称为\(n\)元二次型，简称二次型. 若令\(x = \ \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix},A = \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ a_{n1}& a_{n2} & \cdots & a_{{nn}} \\\end{bmatrix}\),这二次型\(f\)可改写成矩阵向量形式\(f =x^{T}{Ax}\)。其中\(A\)称为二次型矩阵，因为\(a_{{ij}} =a_{{ji}}(i,j =1,2,\cdots,n)\)，所以二次型矩阵均为对称矩阵，且二次型与对称矩阵一一对应，并把矩阵\(A\)的秩称为二次型的秩。

2.惯性定理，二次型的标准形和规范形

(1) 惯性定理

对于任一二次型，不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型，其正负惯性指数与所选变换无关，这就是所谓的惯性定理。

(2) 标准形

二次型\(f = \left( x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} \right) =x^{T}{Ax}\)经过合同变换\(x = {Cy}\)化为\(f = x^{T}{Ax} =y^{T}C^{T}{AC}\)

\(y = \sum_{i = 1}^{r}{d_{i}y_{i}^{2}}\)称为 \(f(r \leq n)\)的标准形。在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的个数由\(r(A)\)唯一确定。

(3) 规范形

任一实二次型\(f\)都可经过合同变换化为规范形\(f = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + \cdots z_{p}^{2} - z_{p + 1}^{2} - \cdots -z_{r}^{2}\)，其中\(r\)为\(A\)的秩，\(p\)为正惯性指数，\(r -p\)为负惯性指数，且规范型唯一。

3.用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定性

设\(A\)正定\(\Rightarrow {kA}(k > 0),A^{T},A^{- 1},A^{*}\)正定；\(|A| >0\),\(A\)可逆；\(a_{{ii}} > 0\)，且\(|A_{{ii}}| > 0\)

\(A\)，\(B\)正定\(\Rightarrow A +B\)正定，但\({AB}\)，\({BA}\)不一定正定

\(A\)正定\(\Leftrightarrow f(x) = x^{T}{Ax} > 0,\forall x \neq 0\)

\(\Leftrightarrow A\)的各阶顺序主子式全大于零

\(\Leftrightarrow A\)的所有特征值大于零

\(\Leftrightarrow A\)的正惯性指数为\(n\)

\(\Leftrightarrow\)存在可逆阵\(P\)使\(A = P^{T}P\)

\(\Leftrightarrow\)存在正交矩阵\(Q\)，使\(Q^{T}{AQ} = Q^{- 1}{AQ} =\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & \\ \begin{matrix} & \\ & \\ \end{matrix} &\ddots & \\ & & \lambda_{n} \\ \end{pmatrix},\)

其中\(\lambda_{i} > 0,i = 1,2,\cdots,n.\)正定\(\Rightarrow {kA}(k >0),A^{T},A^{- 1},A^{*}\)正定； \(|A| > 0,A\)可逆；\(a_{{ii}} >0\)，且\(|A_{{ii}}| > 0\) 。

概率论和数理统计

随机事件和概率

1.事件的关系与运算

(1) 子事件：\(A \subset B\)，若\(A\)发生，则\(B\)发生。

(2) 相等事件：\(A = B\)，即\(A \subset B\)，且\(B \subset A\) 。

(3) 和事件：\(A\bigcup B\)（或\(A + B\)），\(A\)与\(B\)中至少有一个发生。

(4) 差事件：\(A - B\)，\(A\)发生但\(B\)不发生。

(5) 积事件：\(A\bigcap B\)（或\({AB}\)），\(A\)与\(B\)同时发生。

(6) 互斥事件（互不相容）：\(A\bigcap B\)=\(\varnothing\)。

(7) 互逆事件（对立事件）： \(A\bigcap B=\varnothing ,A\bigcup B=\Omega ,A=\bar{B},B=\bar{A}\)

2.运算律 (1) 交换律：\(A\bigcup B=B\bigcup A,A\bigcap B=B\bigcap A\) (2) 结合律：\((A\bigcup B)\bigcup C=A\bigcup (B\bigcup C)\) (3) 分配律：\((A\bigcap B)\bigcap C=A\bigcap (B\bigcap C)\)

3.德$\centerdot $摩根律

\(\overline{A\bigcup B}=\bar{A}\bigcap \bar{B}\) \(\overline{A\bigcap B}=\bar{A}\bigcup \bar{B}\)

4.完全事件组

\({{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}\)两两互斥，且和事件为必然事件，即\({{A}_{i}}\bigcap {{A}_{j}}=\varnothing, i\ne j ,\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \bigcup }}\,=\Omega\)

5.概率的基本公式 (1)条件概率: \(P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\),表示\(A\)发生的条件下，\(B\)发生的概率。

(2)全概率公式： \(P(A)=\sum\limits_{i=1}^{n}{P(A|{{B}_{i}})P({{B}_{i}}),{{B}_{i}}{{B}_{j}}}=\varnothing ,i\ne j,\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\bigcup }}}\,{{B}_{i}}=\Omega\)

(3) Bayes 公式：

\(P({{B}_{j}}|A)=\frac{P(A|{{B}_{j}})P({{B}_{j}})}{\sum\limits_{i=1}^{n}{P(A|{{B}_{i}})P({{B}_{i}})}},j=1,2,\cdots ,n\) 注：上述公式中事件\({{B}_{i}}\)的个数可为可列个。

(4)乘法公式： \(P({{A}_{1}}{{A}_{2}})=P({{A}_{1}})P({{A}_{2}}|{{A}_{1}})=P({{A}_{2}})P({{A}_{1}}|{{A}_{2}})\) \(P({{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}})=P({{A}_{1}})P({{A}_{2}}|{{A}_{1}})P({{A}_{3}}|{{A}_{1}}{{A}_{2}})\cdots P({{A}_{n}}|{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n-1}})\)

6.事件的独立性

(1)\(A\)与\(B\)相互独立

\(\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)\)

(2)\(A\)，\(B\)，\(C\)两两独立 \(\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)\);\(P(BC)=P(B)P(C)\) ;\(P(AC)=P(A)P(C)\);

(3)\(A\)，\(B\)，\(C\)相互独立 \(\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)\); \(P(BC)=P(B)P(C)\) ; \(P(AC)=P(A)P(C)\) ; \(P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\)

7.独立重复试验

将某试验独立重复\(n\)次，若每次实验中事件 A 发生的概率为\(p\)，则\(n\)次试验中\(A\)发生\(k\)次的概率为： \(P(X=k)=C_{n}^{k}{{p}^{k}}{{(1-p)}^{n-k}}\)

8.重要公式与结论 \((1)P(\bar{A})=1-P(A)\)

\((2)P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\) \(P(A\bigcup B\bigcup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)\)

\((3)P(A-B)=P(A)-P(AB)\)

\((4)P(A\bar{B})=P(A)-P(AB),P(A)=P(AB)+P(A\bar{B}),\) \(P(A\bigcup B)=P(A)+P(\bar{A}B)=P(AB)+P(A\bar{B})+P(\bar{A}B)\)

(5)条件概率\(P(\centerdot |B)\)满足概率的所有性质， 例如：. \(P({{\bar{A}}_{1}}|B)=1-P({{A}_{1}}|B)\) \(P({{A}_{1}}\bigcup {{A}_{2}}|B)=P({{A}_{1}}|B)+P({{A}_{2}}|B)-P({{A}_{1}}{{A}_{2}}|B)\) \(P({{A}_{1}}{{A}_{2}}|B)=P({{A}_{1}}|B)P({{A}_{2}}|{{A}_{1}}B)\)

(6)若\({{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{n}}\)相互独立，则\(P(\bigcap\limits_{i=1}^{n}{{{A}_{i}}})=\prod\limits_{i=1}^{n}{P({{A}_{i}})},\) \(P(\bigcup\limits_{i=1}^{n}{{{A}_{i}}})=\prod\limits_{i=1}^{n}{(1-P({{A}_{i}}))}\)

(7)互斥、互逆与独立性之间的关系： \(A\)与\(B\)互逆\(\Rightarrow\) \(A\)与\(B\)互斥，但反之不成立，\(A\)与\(B\)互斥（或互逆）且均非零概率事件\(\Rightarrow (\(A\)与\)B\)不独立.

(8)若\({{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{m}},{{B}_{1}},{{B}_{2}},\cdots ,{{B}_{n}}\)相互独立，则\(f({{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{m}})\)与\(g({{B}_{1}},{{B}_{2}},\cdots ,{{B}_{n}})\)也相互独立，其中\(f(\centerdot ),g(\centerdot )\)分别表示对相应事件做任意事件运算后所得的事件，另外，概率为 1（或 0）的事件与任何事件相互独立.

随机变量及其概率分布

1.随机变量及概率分布

取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量，概率分布通常指分布函数或分布律

2.分布函数的概念与性质

定义： \(F(x) = P(X \leq x), - \infty < x < + \infty\)

性质：(1)\(0 \leq F(x) \leq 1\)

(2) \(F(x)\)单调不减

(3) 右连续\(F(x + 0) = F(x)\)

(4) \(F( - \infty) = 0,F( + \infty) = 1\)

3.离散型随机变量的概率分布

\(P(X = x_{i}) = p_{i},i = 1,2,\cdots,n,\cdots\quad\quad p_{i} \geq 0,\sum_{i =1}^{\infty}p_{i} = 1\)

4.连续型随机变量的概率密度

概率密度\(f(x)\);非负可积，且:

(1)\(f(x) \geq 0,\)

(2)\(\int_{- \infty}^{+\infty}{f(x){dx} = 1}\)

(3)\(x\)为\(f(x)\)的连续点，则:

\(f(x) = F'(x)\)分布函数\(F(x) = \int_{- \infty}^{x}{f(t){dt}}\)

5.常见分布

(1) 0-1 分布:\(P(X = k) = p^{k}{(1 - p)}^{1 - k},k = 0,1\)

(2) 二项分布:\(B(n,p)\)： \(P(X = k) = C_{n}^{k}p^{k}{(1 - p)}^{n - k},k =0,1,\cdots,n\)

(3) Poisson分布:\(p(\lambda)\)： \(P(X = k) = \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda},\lambda > 0,k = 0,1,2\cdots\)

(4) 均匀分布\(U(a,b)\)：\(f(x) = \{ \begin{matrix} & \frac{1}{b - a},a < x< b \\ & 0, \\ \end{matrix}\)

(5) 正态分布:\(N(\mu,\sigma^{2}):\) \(\varphi(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{- \frac{{(x - \mu)}^{2}}{2\sigma^{2}}},\sigma > 0,\infty < x < + \infty\)

(6)指数分布:\(E(\lambda):f(x) =\{ \begin{matrix} & \lambda e^{-{λx}},x > 0,\lambda > 0 \\ & 0, \\ \end{matrix}\)

(7)几何分布:\(G(p):P(X = k) = {(1 - p)}^{k - 1}p,0 < p < 1,k = 1,2,\cdots.\)

(8)超几何分布: \(H(N,M,n):P(X = k) = \frac{C_{M}^{k}C_{N - M}^{n -k}}{C_{N}^{n}},k =0,1,\cdots,min(n,M)\)

6.随机变量函数的概率分布

(1)离散型：\(P(X = x_{1}) = p_{i},Y = g(X)\)

则: \(P(Y = y_{j}) = \sum_{g(x_{i}) = y_{i}}^{}{P(X = x_{i})}\)

(2)连续型：\(X\tilde{\ }f_{X}(x),Y = g(x)\)

则:\(F_{y}(y) = P(Y \leq y) = P(g(X) \leq y) = \int_{g(x) \leq y}^{}{f_{x}(x)dx}\)， \(f_{Y}(y) = F'_{Y}(y)\)

7.重要公式与结论

(1) \(X\sim N(0,1) \Rightarrow \varphi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\Phi(0) =\frac{1}{2},\) \(\Phi( - a) = P(X \leq - a) = 1 - \Phi(a)\)

(2) \(X\sim N\left( \mu,\sigma^{2} \right) \Rightarrow \frac{X -\mu}{\sigma}\sim N\left( 0,1 \right),P(X \leq a) = \Phi(\frac{a -\mu}{\sigma})\)

(3) \(X\sim E(\lambda) \Rightarrow P(X > s + t|X > s) = P(X > t)\)

(4) \(X\sim G(p) \Rightarrow P(X = m + k|X > m) = P(X = k)\)

(5) 离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数。

(6) 存在既非离散也非连续型随机变量。

多维随机变量及其分布

1.二维随机变量及其联合分布

由两个随机变量构成的随机向量\((X,Y)\)， 联合分布为\(F(x,y) = P(X \leq x,Y \leq y)\)

2.二维离散型随机变量的分布

(1) 联合概率分布律 \(P\{ X = x_{i},Y = y_{j}\} = p_{{ij}};i,j =1,2,\cdots\)

(2) 边缘分布律 \(p_{i \cdot} = \sum_{j = 1}^{\infty}p_{{ij}},i =1,2,\cdots\) \(p_{\cdot j} = \sum_{i}^{\infty}p_{{ij}},j = 1,2,\cdots\)

(3) 条件分布律 \(P\{ X = x_{i}|Y = y_{j}\} = \frac{p_{{ij}}}{p_{\cdot j}}\) \(P\{ Y = y_{j}|X = x_{i}\} = \frac{p_{{ij}}}{p_{i \cdot}}\)

3. 二维连续性随机变量的密度

(1) 联合概率密度\(f(x,y):\)

1. \(f(x,y) \geq 0\)

2. \(\int_{- \infty}^{+ \infty}{\int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dxdy}} = 1\)

(2) 分布函数：\(F(x,y) = \int_{- \infty}^{x}{\int_{- \infty}^{y}{f(u,v)dudv}}\)

(3) 边缘概率密度： \(f_{X}\left( x \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f\left( x,y \right){dy}}\) \(f_{Y}(y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dx}\)

(4) 条件概率密度：\(f_{X|Y}\left( x \middle| y \right) = \frac{f\left( x,y \right)}{f_{Y}\left( y \right)}\) \(f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_{X}(x)}\)

4.常见二维随机变量的联合分布

(1) 二维均匀分布：\((x,y) \sim U(D)\) ,\(f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{S(D)},(x,y) \in D \\ 0,其他 \end{cases}\)

(2) 二维正态分布：\((X,Y)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)\),\((X,Y)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)\)

\(f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1 - \rho^{2}}}.\exp\left\{ \frac{- 1}{2(1 - \rho^{2})}\lbrack\frac{{(x - \mu_{1})}^{2}}{\sigma_{1}^{2}} - 2\rho\frac{(x - \mu_{1})(y - \mu_{2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}} + \frac{{(y - \mu_{2})}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\rbrack \right\}\)

5.随机变量的独立性和相关性

\(X\)和\(Y\)的相互独立:\(\Leftrightarrow F\left( x,y \right) = F_{X}\left( x \right)F_{Y}\left( y \right)\):

\(\Leftrightarrow p_{{ij}} = p_{i \cdot} \cdot p_{\cdot j}\)（离散型） \(\Leftrightarrow f\left( x,y \right) = f_{X}\left( x \right)f_{Y}\left( y \right)\)（连续型）

\(X\)和\(Y\)的相关性：

相关系数\(\rho_{{XY}} = 0\)时，称\(X\)和\(Y\)不相关， 否则称\(X\)和\(Y\)相关

6.两个随机变量简单函数的概率分布

离散型： \(P\left( X = x_{i},Y = y_{i} \right) = p_{{ij}},Z = g\left( X,Y \right)\) 则：

\(P(Z = z_{k}) = P\left\{ g\left( X,Y \right) = z_{k} \right\} = \sum_{g\left( x_{i},y_{i} \right) = z_{k}}^{}{P\left( X = x_{i},Y = y_{j} \right)}\)

连续型： \(\left( X,Y \right) \sim f\left( x,y \right),Z = g\left( X,Y \right)\) 则：

\(F_{z}\left( z \right) = P\left\{ g\left( X,Y \right) \leq z \right\} = \iint_{g(x,y) \leq z}^{}{f(x,y)dxdy}\)，\(f_{z}(z) = F'_{z}(z)\)

7.重要公式与结论

(1) 边缘密度公式： \(f_{X}(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dy,}\) \(f_{Y}(y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dx}\)

(2) \(P\left\{ \left( X,Y \right) \in D \right\} = \iint_{D}^{}{f\left( x,y \right){dxdy}}\)

(3) 若\((X,Y)\)服从二维正态分布\(N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)\) 则有：

1. \(X\sim N\left( \mu_{1},\sigma_{1}^{2} \right),Y\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2}).\)

2. \(X\)与\(Y\)相互独立\(\Leftrightarrow \rho = 0\)，即\(X\)与\(Y\)不相关。

3. \(C_{1}X + C_{2}Y\sim N(C_{1}\mu_{1} + C_{2}\mu_{2},C_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} + C_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} + 2C_{1}C_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}\rho)\)

4. \({\ X}\)关于\(Y=y\)的条件分布为： \(N(\mu_{1} + \rho\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}(y - \mu_{2}),\sigma_{1}^{2}(1 - \rho^{2}))\)

5. \(Y\)关于\(X = x\)的条件分布为： \(N(\mu_{2} + \rho\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}(x - \mu_{1}),\sigma_{2}^{2}(1 - \rho^{2}))\)

(4) 若\(X\)与\(Y\)独立，且分别服从\(N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}),N(\mu_{1},\sigma_{2}^{2}),\) 则：\(\left( X,Y \right)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},0),\)

\(C_{1}X + C_{2}Y\tilde{\ }N(C_{1}\mu_{1} + C_{2}\mu_{2},C_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} C_{2}^{2}\sigma_{2}^{2}).\)

(5) 若\(X\)与\(Y\)相互独立，\(f\left( x \right)\)和\(g\left( x \right)\)为连续函数， 则\(f\left( X \right)\)和\(g(Y)\)也相互独立。

随机变量的数字特征

1.数学期望

离散型：\(P\left\{ X = x_{i} \right\} = p_{i},E(X) = \sum_{i}^{}{x_{i}p_{i}}\)；

连续型： \(X\sim f(x),E(X) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{xf(x)dx}\)

性质：

(1) \(E(C) = C,E\lbrack E(X)\rbrack = E(X)\)

(2) \(E(C_{1}X + C_{2}Y) = C_{1}E(X) + C_{2}E(Y)\)

(3) 若\(X\)和\(Y\)独立，则\(E(XY) = E(X)E(Y)\)

(4)\(\left\lbrack E(XY) \right\rbrack^{2} \leq E(X^{2})E(Y^{2})\)

2.方差：\(D(X) = E\left\lbrack X - E(X) \right\rbrack^{2} = E(X^{2}) - \left\lbrack E(X) \right\rbrack^{2}\)

3.标准差：\(\sqrt{D(X)}\)，

4.离散型：\(D(X) = \sum_{i}^{}{\left\lbrack x_{i} - E(X) \right\rbrack^{2}p_{i}}\)

5.连续型：\(D(X) = {\int_{- \infty}^{+ \infty}\left\lbrack x - E(X) \right\rbrack}^{2}f(x)dx\)

性质：

(1)\(\ D(C) = 0,D\lbrack E(X)\rbrack = 0,D\lbrack D(X)\rbrack = 0\)

(2) \(X\)与\(Y\)相互独立，则\(D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)\)

(3)\(\ D\left( C_{1}X + C_{2} \right) = C_{1}^{2}D\left( X \right)\)

(4) 一般有 \(D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2Cov(X,Y) = D(X) + D(Y) \pm 2\rho\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}\)

(5)\(\ D\left( X \right) < E\left( X - C \right)^{2},C \neq E\left( X \right)\)

(6)\(\ D(X) = 0 \Leftrightarrow P\left\{ X = C \right\} = 1\)

6.随机变量函数的数学期望

(1) 对于函数\(Y = g(x)\)

\(X\)为离散型：\(P\{ X = x_{i}\} = p_{i},E(Y) = \sum_{i}^{}{g(x_{i})p_{i}}\)；

\(X\)为连续型：\(X\sim f(x),E(Y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{g(x)f(x)dx}\)

(2) \(Z = g(X,Y)\);\(\left( X,Y \right)\sim P\{ X = x_{i},Y = y_{j}\} = p_{{ij}}\); \(E(Z) = \sum_{i}^{}{\sum_{j}^{}{g(x_{i},y_{j})p_{{ij}}}}\) \(\left( X,Y \right)\sim f(x,y)\);\(E(Z) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{\int_{- \infty}^{+ \infty}{g(x,y)f(x,y)dxdy}}\)

7.协方差

\(Cov(X,Y) = E\left\lbrack (X - E(X)(Y - E(Y)) \right\rbrack\)

8.相关系数

\(\rho_{{XY}} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}\),\(k\)阶原点矩 \(E(X^{k})\); \(k\)阶中心矩 \(E\left\{ {\lbrack X - E(X)\rbrack}^{k} \right\}\)

性质：

(1)\(\ Cov(X,Y) = Cov(Y,X)\)

(2)\(\ Cov(aX,bY) = abCov(Y,X)\)

(3)\(\ Cov(X_{1} + X_{2},Y) = Cov(X_{1},Y) + Cov(X_{2},Y)\)

(4)\(\ \left| \rho\left( X,Y \right) \right| \leq 1\)

(5) \(\ \rho\left( X,Y \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1\) ，其中\(a > 0\)

\(\rho\left( X,Y \right) = - 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1\) ，其中\(a < 0\)

9.重要公式与结论

(1)\(\ D(X) = E(X^{2}) - E^{2}(X)\)

(2)\(\ Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\)

(3) \(\left| \rho\left( X,Y \right) \right| \leq 1,\)且 \(\rho\left( X,Y \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1\)，其中\(a > 0\)

\(\rho\left( X,Y \right) = - 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1\)，其中\(a < 0\)

(4) 下面 5 个条件互为充要条件：

\(\rho(X,Y) = 0\) \(\Leftrightarrow Cov(X,Y) = 0\) \(\Leftrightarrow E(X,Y) = E(X)E(Y)\) \(\Leftrightarrow D(X + Y) = D(X) + D(Y)\) \(\Leftrightarrow D(X - Y) = D(X) + D(Y)\)

注：\(X\)与\(Y\)独立为上述 5 个条件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件。

数理统计的基本概念

1.基本概念

总体：研究对象的全体，它是一个随机变量，用\(X\)表示。

个体：组成总体的每个基本元素。

简单随机样本：来自总体\(X\)的\(n\)个相互独立且与总体同分布的随机变量\(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}\)，称为容量为\(n\)的简单随机样本，简称样本。

统计量：设\(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n},\)是来自总体\(X\)的一个样本，\(g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n})\)）是样本的连续函数，且\(g()\)中不含任何未知参数，则称\(g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n})\)为统计量。

样本均值：\(\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}\)

样本方差：\(S^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X})}^{2}\)

样本矩：样本\(k\)阶原点矩：\(A_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}^{k},k = 1,2,\cdots\)

样本\(k\)阶中心矩：\(B_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X})}^{k},k = 1,2,\cdots\)

2.分布

\(\chi^{2}\)分布：\(\chi^{2} = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \cdots + X_{n}^{2}\sim\chi^{2}(n)\)，其中\(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n},\)相互独立，且同服从\(N(0,1)\)

\(t\)分布：\(T = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)\) ，其中\(X\sim N\left( 0,1 \right),Y\sim\chi^{2}(n),\)且\(X\)，\(Y\) 相互独立。

\(F\)分布：\(F = \frac{X/n_{1}}{Y/n_{2}}\sim F(n_{1},n_{2})\)，其中\(X\sim\chi^{2}\left( n_{1} \right),Y\sim\chi^{2}(n_{2}),\)且\(X\)，\(Y\)相互独立。

分位数：若\(P(X \leq x_{\alpha}) = \alpha,\)则称\(x_{\alpha}\)为\(X\)的\(\alpha\)分位数

3.正态总体的常用样本分布

(1) 设\(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}\)为来自正态总体\(N(\mu,\sigma^{2})\)的样本，

\(\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i},S^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \overline{X})}^{2},}\)则：

1. \(\overline{X}\sim N\left( \mu,\frac{\sigma^{2}}{n} \right){\ \ }\)或者\(\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)\)

2. \(\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}} = \frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \overline{X})}^{2}\sim\chi^{2}(n - 1)}\)

3. \(\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \mu)}^{2}\sim\chi^{2}(n)}\)

4)\({\ \ }\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n - 1)\)

4.重要公式与结论

(1) 对于\(\chi^{2}\sim\chi^{2}(n)\)，有\(E(\chi^{2}(n)) = n,D(\chi^{2}(n)) = 2n;\)

(2) 对于\(T\sim t(n)\)，有\(E(T) = 0,D(T) = \frac{n}{n - 2}(n > 2)\)；

(3) 对于\(F\tilde{\ }F(m,n)\)，有 \(\frac{1}{F}\sim F(n,m),F_{a/2}(m,n) = \frac{1}{F_{1 - a/2}(n,m)};\)

(4) 对于任意总体\(X\)，有 \(E(\overline{X}) = E(X),E(S^{2}) = D(X),D(\overline{X}) = \frac{D(X)}{n}\)